Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{30}\: \in \mathbb{N}$ ^{voor alle natuurlijke getallen n > 0}
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is de uitdrukking gelijk aan $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac15+\frac13+\frac12-\frac1{30}=\frac{6\!+\!10\!+\!15\!-\!1}{30}=\frac{30}{30}=1\; \in \mathbb{N}$

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{30}\: \in \mathbb{N}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{30}\: \in \mathbb{N}$
	Bewijs :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}LL=\frac{(k\!+\!1)^2.(k\!+\!1)^3}{5}+\frac{(k\!+\!1)^3}{3}+\frac{(k\!+\!1)^2}{2}-\frac{k\!+\!1}{30}\:$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{88}LL=\frac{(k\!+\!2k\!+\!1).(k^3\!+\!3k^2\!+\!3k\!+\!1)}{5}+\frac{k^3\!+\!3k^2\!+\!3k\!+\!1}{3}+\frac{k\!+\!2k\!+\!1}{2}-\frac{k+1}{30}$ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{88}LL=\frac{(k\!+\!2k\!+\!1).(k^3\!+\!3k^2\!+\!3k\!+\!1)}{5}+\frac{k^3\!+\!3k^2\!+\!3k\!+\!1}{3}+\frac{k\!+\!2k\!+\!1}{2}-\frac{k+1}{30}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\frac{k^5}{5}+\frac{3k^4\!+\!3k^3\!+\!k^2\!+\!2k^4\!+\!6k^3\!+\!6k^2\!+\!2k\!+\!k^3\!+\!3k^2\!+\!3k}{5}+\frac15$ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}+\frac{k^3}{5}+k^2+k+\frac13+\frac{k^2}{2}+k+\frac12-\frac{k}{30}-\frac{1}{30}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\frac{k^5}{5}+\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}-\frac{k}{30}+\frac{5k^4+10k^3+10k^2+5k}{5}+\frac 15+\frac 13 + \frac 12 - \frac{1}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\left ( \frac{k^5}{5}+\frac{k^3}{3}+\frac{k^2}{2}-\frac{k}{30} \right )+(k^4+2k^3+2k^2+k)+1$
		__ is wegens (o.a.) de inductiehypothese een natuurlijk getal Q.E.D.
N.B. Je kan het bewijs inkorten als je weet dat (k+1)⁵= k⁵+5k⁴+10k³+10k²+5k+1 De 6 coëfficiënten zijn afkomstig van de 6 getallen in de 6^de rij van de driehoek van PASCAL. Ook zijn de zes coëfficiënten respectievelijk gelijk aan C₅⁰, C₅¹, C₅², C₅³, C₅⁴, C₅⁵

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP